前回は中心力の発散が原点も含めるとデルタ関数の倍になることを示しました．
今回は原点以外で中心力の発散がゼロになるのは空間次元と等しいべき乗が分母にかかっているときであるということについて証明します．
つまり，空間次元を
とするとき，
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\frac{\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}|^n}\right) = 0 &\Leftrightarrow n = d \end{align}
が成り立つことを示します．
ここで，で，
になります．
証明は次のようになります：
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\frac{\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}|^n}\right)
&=
\sum _{i=1}^d\frac{\partial}{\partial x^i}\left(\frac{x^i}{|\boldsymbol{x}|^n}\right)
\\
&=
\sum _{i=1}^d\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}|^n}\right)
+
\sum _{i=1}^dx^i\frac{\partial}{\partial x^i}\left(|\boldsymbol{x}|^{-n}\right)
\\
&=
\frac{d}{|\boldsymbol{x}|^n}
+
\sum _{i=1}^dx^i(-n)|\boldsymbol{x}|^{-(n+1)}\frac{\partial}{\partial x^i}\sqrt{\sum _{j=1}^d{x^j}^2}
\\
&=
\frac{d}{|\boldsymbol{x}|^n}-
n\sum _{i=1}^d\frac{x^i}{|\boldsymbol{x}|^{n+1}}\frac{1}{2}2x^i\frac{1}{\sqrt{\sum _{j=1}^d{x^j}^2}}
\\
&=
\frac{d}{|\boldsymbol{x}|^n}-
n\sum _{i=1}^d\frac{{x^i}^2}{|\boldsymbol{x}|^{n+2}}
\\
&=
\frac{d}{|\boldsymbol{x}|^n}-
n\sum _{i=1}^d\frac{1}{|\boldsymbol{x}|^{n}}
\\
&=
\frac{d-n}{|\boldsymbol{x}|^n}
\end{align}
これがゼロになるのはのときだけになります．
そして
が単位ベクトルであることを考えると，
に比例する力において
のときにしか発散がゼロにならないため閉じた円軌道を解に持てるのはこの場合だけであることが分かります．
この為，私たちの空間がちょうど
次元の場合，電磁力と重力はどちらも
に反比例する力だからこそ円軌道の解が得られることが分かります．
