Laplace方程式の解

が与えられているとき，微分方程式 \begin{align} \Delta\phi (\boldsymbol{x}) = -f(\boldsymbol{x}) \end{align} をPoisson方程式と呼びます． 一般に微分方程式は特殊解とその微分方程式の斉次方程式(右辺と置いた微分方程式)の 一般解の和で一般解が表されます． そこでここではPoisson方程式の一般解を求めるためにまず最初にPoisson方程式の斉次方程式である Laplace方程式 \begin{align} \Delta\phi (\boldsymbol{x}) = 0 \end{align} の一般解を求めます． まず，Laplace方程式の解法は何次元でも大体一緒なので一般の次元の場合について証明します． いま，変数分離解の一般解が与えられれば，変数が分離されていない一般解はその線形結合で表されるので， 変数分離解を \begin{align} \phi (\boldsymbol{x}) &= \prod _{j=1}^dX_i(x_j) \end{align} と書くことにすると， \begin{align} \Delta\phi (x) &= \Delta\prod _{j=1}^dX_i(x_j) \\ &= \sum _{i=1}^d\frac{\partial ^2}{\partial x_i^2}\prod _{j=1}^dX_j(x_j) \\ &= \sum _{i=1}^d\frac{\prod _{j=1}^dX_j(x_j)}{X_i(x_i)}\frac{d^2X_i(x_i)}{dx_i^2} \end{align} が成り立つので，Poisson方程式は \begin{align} \sum _{i=1}^d\frac{\prod _{j=1}^dX_j(x_j)}{X_i(x_i)}\frac{d^2X_i(x_i)}{dx_i^2} &= 0 \end{align} と表すことができます． よってこの両辺をで割ってやると， \begin{align} \sum _{i=1}^d\frac{1}{X_i(x_i)}\frac{d^2X_i(x_i)}{dx_i^2} &= 0 \end{align} が得られます． ここでこの式の右辺がゼロで，左辺が各変数独立に動かせることから， 左辺の各項はそれぞれ定数で和がゼロでなければならないことが分かります． そこで各項を定数とすると，次が成り立ちます： \begin{align} \frac{1}{X_i(x_i)}\frac{d^2X_i(x_i)}{dx_i^2} &= \alpha _i, \\ \alpha _1 + \alpha _2 + \cdots + \alpha _d &= 0 \end{align} この微分方程式は解けます． 実際， \begin{align} (D^2 - \alpha _i)X_i(x_i) &= 0 \end{align} より， \begin{align} X_i(x_i) &= A_i e^{\sqrt{\alpha _i}x_i} + B_i e^{-\sqrt{\alpha _i}x_i} + C_i x_i + D_i \end{align} と表せます． ただし，の解も含めておきました． ここでが正であるか負であるかは境界条件次第なので， が実数である保証はありません． よって複素数によってと書けば，Laplace方程式の解は \begin{align} X_i(x_i) &= A_i e^{k_ix_i} + B_i e^{-k_ix_i} + C_i x_i + D_i, \\ \sum _{i=1}^d{k_i}^2 &= 0, \\ \phi (\boldsymbol{x}) &= \prod _{j=1}^dX_i(x_j), \end{align} と書けることが分かります． ただし，が虚数のときはを三角関数で表しておいた方が自然かもしれません．

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