竜太のテクニカルメモ

物理やへっぽこなゲーム作りについて易しく解説するよ

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タイムマシン改良案(過去へのバトンリレー)(間違いあり!!)

下に証明した過去へのバトンリレーは一部使ってはいけない座標の取り換えを行っており, 正しい証明になっていませんでした.正しい証明は追ってご紹介いたします. 申し訳ありませんでしたm( )m

ども,竜太です.

今回は難題だったタイムマシンの0.02秒問題について挑みます.

タイムマシンの0.02秒問題って何?

私の考案したタイムマシンは4台の人工惑星を用いて基本的に0.02秒過去に向かって情報が送れました. しかし,数億年運用しないと数分前にさえ情報が送れないため,かなり実用性は限られていました. 今回はこの問題をクリアするエレガントな解決方法を発見しましたのでご紹介します. ポイントは"過去への情報のバトンリレー"です.

8台の瞬間情報転送装置を4つの人工惑星に取り付ける

まず,問題設定として静止系であるK系の原点であるA地点x = 0B地点x = -Lを取ります. 次にK系に対してx軸正の方向に速度vで等速直線運動をするK'系を考え,その原点をA'地点, K'系で-Lの地点をB'地点とし,K系とK'系の原点はt = t' = 0の瞬間に重なっているものとしましょう. このときA地点とA'地点,A'地点とB'地点,B'地点とB地点,B地点とA地点の間に瞬間情報転送装置があるものとします. (一方通行で構わない)

このとき,K系の原点A地点の未来を表す時刻 t = 0A地点から情報M(核戦争が起こった!!などww)を同じA地点の過去に送るものとしましょう. 次の手順を踏むと1ステップ分過去に情報が送れます. なお,いちいち断りませんが,情報の転送は全て瞬間情報転送装置で行います:

1ステップだけ過去に情報を送る!

  1. 時刻t = 0A地点からA'地点へ情報Mを送信する.このとき,A'地点の位置と時刻はx' = 0,t' = 0である.
  2. 1.の直後に直ぐにB'地点に送信する.このとき,B'地点の位置と時刻はx' = -L,t' = 0である.
  3. 2.の直後に直ぐにB地点に送信する.このとき,B地点の位置は当然x = -Lであるが,時刻はローレンツ逆変換の公式t = \gamma (t' + vx')より,  t = -\gamma vLとなる.ここですでにある意味情報Mは過去に送れていることになる.ただし計算を簡単にするためc = 1の単位系のローレンツ変換を使用した.
  4. 3.の直後に直ぐA地点に送信する.A地点の位置と時刻はx = 0,t = -\gamma vLである.これで完全に1ステップだけ過去に情報が送れたことになる.

2ステップ目以降も見てみよう

2ステップ目ですが,当然ほんのちょっと過去になるので人工惑星の位置が変わってしまってます.これでも最初のステップと同じようにもう一度過去に情報が送れるのでしょうか? 試してみましょう.

  1. 時刻t = -\gamma vLA地点からA'地点へ情報Mを送信する.このとき,A'地点の位置と時刻はx' = 0,t' = -\gamma vLである.
  2. 1.の直後に直ぐにB'地点に送信する.このとき,B'地点の位置と時刻はx' = -L,t' = -\gamma vLである.
  3. 2.の直後に直ぐにB地点に送信する.このとき,B地点の位置は当然x = -Lであるが,時刻はローレンツ逆変換の公式t = \gamma (t' + vx')より,  t = -(1 + \gamma )\gamma vLとなる.ここで再びすでにある意味情報Mは過去に送れていることになる.
  4. 3.の直後に直ぐA地点に送信する.A地点の位置と時刻はx = 0,t = -(1 + \gamma )\gamma vLである.これで完全に2ステップだけ過去に情報が送れたことになる.

心配な人の為に念のため3ステップ目もやってみましょう.こうなります:

  1. 時刻t = -(1 + \gamma )\gamma vLA地点からA'地点へ情報Mを送信する.このとき,A'地点の位置と時刻はx' = 0,t' = -(1 + \gamma )\gamma vLである.
  2. 1.の直後に直ぐにB'地点に送信する.このとき,B'地点の位置と時刻はx' = -L,t' = -(1 + \gamma )\gamma vLである.
  3. 2.の直後に直ぐにB地点に送信する.このとき,B地点の位置は当然x = -Lであるが,時刻はローレンツ逆変換の公式t = \gamma (t' + vx')より,  t = -(1 + \gamma + \gamma ^2 )\gamma vLとなる.ここで再びすでにある意味情報Mは過去に送れていることになる.
  4. 3.の直後に直ぐA地点に送信する.A地点の位置と時刻はx = 0,t = -(1 + \gamma + \gamma ^2)\gamma vLである.これで完全に3ステップだけ過去に情報が送れたことになる.

ここからわかるのは各時刻 t = -\sum _{i=0}^k\gamma ^i\gamma vLに過去に向かって情報Mをバトンリレーすれば時刻t = -\sum _{i=0}^N\gamma ^i\gamma vLの過去に情報Mを送れる,つまりt = \sum _{i=0}^N\gamma ^i\gamma vL分だけ過去に情報を送ることができることが分かる. また,数億年運用する必要はないためその間の故障とかもまず心配ない.

いったいどれだけ過去に情報が送れるの?

この目的のためt = \sum _{i=0}^N\gamma ^i\gamma vLの大きさを見積もりましょう. この値が大きければ大きいほど大きな時間分遠くの過去に情報が送れます. まず少々近似の精度は劣るのですが,少なくともこれだけ過去に送れるというのを示しましょう. ポイントは\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} > 1を使用することです. つまり,近似の精度はやや劣りますが,\gammaを全部1にしたよりは少なくとも過去に情報が送れます. すると,t = \sum _{i=0}^N\gamma ^i\gamma vL > (N+1)vLとなり,Nステップ行えば少なくとも(N+1)vLだけ過去に情報が送れることになります.

 c = 1の単位系で働いているけど?

これは簡単です.今考えているのは光速=1の単位系で考えています.したがって光速を基準にしてすべて測るか,あるいはV := v/cで置き換えればよいだけです. 不安な人の為に前者で行うと,人工惑星の公転速度は光速の0.002\%ですからv = \frac{0.004}{100} = 0.00004, 公転半径は500cですからL = 500です.したがってNステップの場合,t \approx (N+1)\times 0.00004\times 500 = (N + 1)0.02 となります.したがってN = 100000とすれば大体33.3分ぐらい巻き戻せることになります.

タイムマシンは作れる!

上でN = 100000と置いたことに疑問を持つ方がいらっしゃるかもしれません. そんなに回数を稼げるかって. しかし個人的な意見ですが,これは十分可能と思われます. 瞬間情報転送装置は電波を使った量子暗号通信とほぼ同じ技術ででき,実際作れるはずです. またIPパケットを送るようにしてあればいとも簡単に電波で古典情報を送れます. このためこの技術を使えば情報だけ過去に送るタイムマシンは十分簡単に作ることができるはずです.

ここまで読んでくださって有難うございます. 何か間違い等ございましたら,ご報告いただけると幸いです^^


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