竜太のテクニカルメモ

物理やへっぽこなゲーム作りについて易しく解説するよ

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det (exp A) = exp (Tr A)の証明

ども,竜太です.

今回はAを行列とするとき, \begin{align} \det e^A &= e^{\mathrm{Tr}\ A} \end{align} となることを証明します. なお,左辺の行列式の中身は行列の指数なので指数関数のテイラー展開 \begin{align} e^A &:= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!} \end{align} によって定義される行列を表すものとします. ここでトレースがただの数であることより右辺もただの数になっていることに注意してください.

いま,任意の行列はある正則行列TによってT^{-1}ATが上三角行列になるようにできることを用いると, 上三角行列のk乗の対角成分は元の上三角行列のその位置の対角成分のk乗であることより,


\begin{align}
\det e^A
&=
\det e^{TT^{-1}ATT^{-1}} \\
&=
\det (e^Te^{T^{-1}AT}e^{T^{-1}}) \\
&=
\det e^T\det e^{T^{-1}AT}\det e^{T^{-1}} \\
&=
\det e^T\det e^{T^{-1}}\det e^{T^{-1}AT} \\
&=
\det e^{T^{-1}AT} \\
&=
\det e^{\tilde{A}} \\
&=
\det\left(\sum _{k=0}^{\infty}\frac{\tilde{A}^k}{k!}\right) \\
&=
\prod _{i=1}^n\left(\sum _{k=0}^{\infty}\frac{\tilde{a}_{ii}^k}{k!}\right) \\
&=
\prod _{i=1}^n(e^{\tilde{a}_{ii}}) \\
&=
e^{\sum _{i=1}^n\tilde{a}_{ii}} \\
&=
e^{\mathrm{Tr}\ \tilde{A}} \\
&=
e^{\mathrm{Tr}(T^{-1}AT)} \\
&=
e^{\mathrm{Tr}(TT^{-1}A)} \\
&=
e^{\mathrm{Tr}\ A} \\
\end{align}

となるので, \begin{align} \det e^A &= e^{\mathrm{Tr}\ A} \end{align} が示せた.

ここまで読んでくださって有難うございます. 何か間違い等ございましたら,ご報告いただけると幸いです^^


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