det (exp A) = exp (Tr A)の証明 - 竜太のテクニカルメモ

ども，竜太です．

今回は $A$ を行列とするとき， \begin{align} \det e^A &= e^{\mathrm{Tr}\ A} \end{align} となることを証明します．なお，左辺の行列式の中身は行列の指数なので指数関数のテイラー展開 \begin{align} e^A &:= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!} \end{align} によって定義される行列を表すものとします．ここでトレースがただの数であることより右辺もただの数になっていることに注意してください．

いま，任意の行列はある正則行列 $T$ によって $T^{-1}AT$ が上三角行列になるようにできることを用いると，上三角行列の $k$ 乗の対角成分は元の上三角行列のその位置の対角成分の $k$ 乗であることより，

$\begin{align} \det e^A &= \det e^{TT^{-1}ATT^{-1}} \\ &= \det (e^Te^{T^{-1}AT}e^{T^{-1}}) \\ &= \det e^T\det e^{T^{-1}AT}\det e^{T^{-1}} \\ &= \det e^T\det e^{T^{-1}}\det e^{T^{-1}AT} \\ &= \det e^{T^{-1}AT} \\ &= \det e^{\tilde{A}} \\ &= \det\left(\sum _{k=0}^{\infty}\frac{\tilde{A}^k}{k!}\right) \\ &= \prod _{i=1}^n\left(\sum _{k=0}^{\infty}\frac{\tilde{a}_{ii}^k}{k!}\right) \\ &= \prod _{i=1}^n(e^{\tilde{a}_{ii}}) \\ &= e^{\sum _{i=1}^n\tilde{a}_{ii}} \\ &= e^{\mathrm{Tr}\ \tilde{A}} \\ &= e^{\mathrm{Tr}(T^{-1}AT)} \\ &= e^{\mathrm{Tr}(TT^{-1}A)} \\ &= e^{\mathrm{Tr}\ A} \\ \end{align}$