竜太のテクニカルメモ

物理やへっぽこなゲーム作りについて易しく解説するよ

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エルミート演算子の固有値は実数

ども,竜太です.

今回から始まるシリーズは最終的にエルミート演算子がユニタリ行列で実行列に対角化できることを示したいと思います.

まず最初に随伴演算子についてご紹介します.

随伴演算子とは?

Vヒルベルト空間とするとき,V上の任意の線形演算子Aに対して,任意のVの元|\boldsymbol{x}\rangle|\boldsymbol{y}\rangleに対して, \langle\boldsymbol{x}|A\boldsymbol{y}\rangle = \langle B\boldsymbol{x}|\boldsymbol{y}\rangleが成り立つようなBのことをAの随伴演算子と呼び, A^{\dagger} := Bと表します.

エルミート演算子とは?

やや正確ではないのですが,線形演算子AA^{\dagger} = Aを満たすとき,Aを自己随伴演算子またはエルミート演算子と呼びます. 自己随伴演算子は要するに自分自身が随伴をとったものと等しい演算子です. 式にすると\langle\boldsymbol{x}|A\boldsymbol{y}\rangle = \langle A\boldsymbol{x}|\boldsymbol{y}\rangleが任意のVの元|\boldsymbol{x}\rangle|\boldsymbol{y}\rangleに対して 成り立つような演算子Aのことを指します.

線形演算子固有値

Aを線形演算子とするとき,あるゼロでないケットベクトル|\boldsymbol{x}\rangleとある複素数\alphaに対してA|\boldsymbol{x}\rangle = \alpha |\boldsymbol{x}\rangle となるとき, |\boldsymbol{x}\rangle演算子A固有値\alphaに属する固有ベクトルと呼びます.直感的には固有ベクトルとはその演算子を作用させたときに長さだけが変化して向きは変わらないようなベクトルで,その長さの伸び縮みの比率が固有値になります(複素数固有値の場合このイメージでは無理ですが).

エルミート演算子固有値は実数になる.

不思議なことに線形演算子の中でもエルミート演算子固有値は必ず実数になります. 示してみましょう. |\boldsymbol{x}\rangle固有値\alphaに属するエルミート演算子固有ベクトルとします.式で表すとA|\boldsymbol{x}\rangle = \alpha |\boldsymbol{x}\rangleです. ここで次の計算をしてみます:

\begin{align} \alpha\langle\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle &= \langle\boldsymbol{x}|\alpha\boldsymbol{x}\rangle \\ &= \langle\boldsymbol{x}|A\boldsymbol{x}\rangle \\ &= \langle A^{\dagger}\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle \\ &= \langle A\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle \\ &= \alpha^* \langle\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\rangle \end{align} 以上より\alpha^* = \alphaなのでエルミート行列A固有値は必ず実数になることが示せました.

次回は「エルミート演算子の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する」について書きます.

ここまで読んでくださって有難うございます. 何か間違い等ございましたら,ご報告いただけると幸いです^^


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