エルミート演算子の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する

竜太です．

前回に続いて今回はエルミート演算子の固有値が実数なだけでなく異なる固有値に属する固有ベクトルが互いに直交することを示します．

異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する

エルミート演算子 $A$ のゼロでない固有ベクトル $|\boldsymbol{x}\rangle$ と $|\boldsymbol{y}\rangle$ がそれぞれ異なる固有値 $\alpha$ と $\beta$ に属するものとします．すなわち， $A|\boldsymbol{x}\rangle = \alpha |\boldsymbol{x}\rangle$ かつ $A|\boldsymbol{y}\rangle = \beta |\boldsymbol{y}\rangle$ で $\alpha\neq\beta$ とします．このとき， \begin{align} \beta\langle\boldsymbol{x}|\boldsymbol{y}\rangle &= \langle\boldsymbol{x}|\beta |\boldsymbol{y}\rangle \\ &= \langle\boldsymbol{x}|A|\boldsymbol{y}\rangle \\ &= \langle\boldsymbol{x}|A\boldsymbol{y}\rangle \\ &= \langle A^{\dagger}\boldsymbol{x}|\boldsymbol{y}\rangle \\ &= \langle A\boldsymbol{x}|\boldsymbol{y}\rangle \\ &= \langle \alpha\boldsymbol{x}|\boldsymbol{y}\rangle \\ &= \alpha^*\langle\boldsymbol{x}|\boldsymbol{y}\rangle \\ &= \alpha\langle\boldsymbol{x}|\boldsymbol{y}\rangle \end{align} が成り立ちますので $(\alpha - \beta )\langle\boldsymbol{x}|\boldsymbol{y}\rangle = 0$ が成り立ちます．ここで $\alpha$ と $\beta$ は異なると仮定したので結局 $\langle\boldsymbol{x}|\boldsymbol{y}\rangle = 0$ が成り立ちます．これが導きたいことでした．