pp-1予想 - 竜太のテクニカルメモ

ども，竜太です．

akb予想に引き続いてまた新しい予想を思いつきましたので取り急ぎ発表します．『pp-1予想』です．

pp-1予想発見のきっかけ

私はakb予想を考えたのちの今日2023年5月5日に新しい数学の問題を考えられないか世界的な数学者のピーター・フランクルさんより依頼されました．そこで私が考えられるのが，整数論の予想問題に違いないと考え，整数論限定で考えてみました．

まず，考えてみたのが，私にとって一番簡単なのが単なる足し算でしたので，足し算を使った問題にしようということでした．次にただの整数の足し算はさんざん考えたのでそれはやめようと思いました．すると，整数論の問題で残るのは整数の逆数の $\frac{1}{2}$ や $\frac{1}{3}$ が現れる問題かもしれないと考えました．この時点ですぐに分子に1以外が現れるのがまずいということを想定しました．何故なら一般の $\frac{q}{p}$ の問題では何でもありで，ちっとも面白い問題になりそうになかったからです．そこで足したら整数になる分子が1の分数の問題はどうか？と考えました．しかしこれはすぐ分かるのですが，全くつまらない問題です．実際， $\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1$ ， $\frac{1}{3}+\frac{1}{3} + \frac{1}{3}= 1$ のように幾らでも同じ分数を足し合わせて整数が作れてしまうからです．この時点で分子が1で同じ分母を持たない分数の和が有望そうだということに気付きました．ところが，これだと決して有限和では整数解が得られないのです．私はここでかなり悩みました．そして10分ほど試行錯誤したのち，不可能に違いないので，和が $\frac{p-1}{p}$ の形式の分数になればよいと仮定しました．pp-1予想の誕生です！

pp-1予想とは？

次のような例を見てみましょう：

$n = 1\rightarrow \frac{1}{2} = \frac{2-1}{2}$
$n = 2\rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} = \frac{6-1}{6}$
$\cdots$

上の2つの例を見れば明らかですが，一般に分子が1で分母が自然数の異なる分数の和は任意の $n$ 個の和に関してその値が $\frac{p-1}{p}$ にできるであろう，というのが僕の考えたpp-1予想です．次の例を見てみましょう：

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{13}{12}\neq \frac{p-1}{p}$

この例のようにやみくもに足しても決してうまく行かないのがこの問題を難しくしています．この問題は既に積分の問題と密接に関係していることが分かっており，解析学と数論の間に何か見えない関係があることを示唆しています．腕に自信のある皆さん，この難問に挑戦してみませんか？そして例え直接解くことはできなくても，何か新しい数学のツールを発見して頂けたら幸いです．

この問題に挑戦してみたい方を募集します．ハンガリーの数学者の皆さん，如何ですか？

ここまで読んで下さって感謝いたします．何か間違い等ございましたら，ご報告宜しくお願いいたします^^