中心力の発散がデルタ関数になることの証明

ども，竜太です．

久しぶりの更新となってしまいましたが，今回は中心力

$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = \frac{\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}|^3}$

の発散が，

$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = 4\pi\delta (\boldsymbol{x})$

になることを証明します．ただし， \begin{gather} \delta (\boldsymbol{x}) = \delta (x)\delta (y)\delta (z) \end{gather} とします．

まず次のように置きます：

\begin{align} U(\boldsymbol{x}) := \frac{1}{|\boldsymbol{x}|}, \quad \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) := \frac{\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}|^3} = \frac{1}{|\boldsymbol{x}|^2}\frac{\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}|}, \end{align}

このとき，地道に計算すれば $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ で次が成り立ちます： \begin{align} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = -\boldsymbol{\nabla}U(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = 0, \quad \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}, \end{align} この計算は単なる微分演算なので，機械的に計算すれば出てくるので，皆さんで確かめてみてください．これより， $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ で次も成り立ちます： \begin{align} \Delta U(\boldsymbol{x}) &= \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\nabla} U(\boldsymbol{x}) \\ &= \boldsymbol{\nabla}\cdot (-\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})) \\ &= -\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) \\ &= 0 \end{align}

$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ の発散が，デルタ関数の $4\pi$ 倍であることから，一般の関数 $g(\boldsymbol{x})$ に対して \begin{align} \int _{\Omega}g(\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})d^3x= 4\pi g(\boldsymbol{a}) \end{align} となることを示せばよいでしょう．ここで $\Omega$ は全空間 $(-\infty \lt x \lt \infty ,-\infty \lt y \lt \infty ,-\infty \lt z \lt \infty )$ を表すものとします．

証明は次のようになります： $\boldsymbol{a}$ を中心とする半径 $r$ の球体を $B_r(\boldsymbol{a})$ ,球面を $S_r(\boldsymbol{a})$ とします．いま，十分小さな $\varepsilon > 0$ に対して，この球体の内側と外側全体の空間に分けると，この球体の外部では $\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}) = 0$ となり，球体の内部では $g(\boldsymbol{x})\approx g(\boldsymbol{a})$ となるので， \begin{align} \int _{\Omega}g(\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})d^3x &= \int _{\Omega - B_{\varepsilon}(\boldsymbol{a})}g(\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})d^3x + \int _{B_{\varepsilon}(\boldsymbol{a})}g(\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})d^3x \\ &= \int _{B_{\varepsilon}(\boldsymbol{a})}g(\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})d^3x \\ &\approx \int _{B_{\varepsilon}(\boldsymbol{a})}g(\boldsymbol{a})\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})d^3x \\ &= g(\boldsymbol{a})\int _{B_{\varepsilon}(\boldsymbol{a})}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})d^3x \end{align} が成り立ちます．ここで上の近似は $\varepsilon\to 0$ にすることでいくらでも正確にできることに注意しましょう．この式の最後の行にGaussの発散定理を適用すると， \begin{align} g(\boldsymbol{a})\int _{B_{\varepsilon}(\boldsymbol{a})}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})d^3x &= g(\boldsymbol{a})\int _{S_{\varepsilon}(\boldsymbol{a})}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS \end{align} と面積分になります．ここでこの領域で $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}) = \frac{1}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^2}\frac{\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|}$ となり，球面 $S_{\varepsilon}(\boldsymbol{a})$ 上で外向きの法線が $\frac{\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|}$ となることから， \begin{align} g(\boldsymbol{a})\int _{S_{\varepsilon}(\boldsymbol{a})}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS &= g(\boldsymbol{a})\int _{S_{\varepsilon}(\boldsymbol{a})}\frac{1}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^2}\frac{\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|}\cdot\frac{\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|}dS \\ &= g(\boldsymbol{a})\int _{S_{\varepsilon}(\boldsymbol{a})}\frac{1}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^2}dS \end{align} ここで変数変換 $\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\to\boldsymbol{x}$ を行うと， \begin{align} g(\boldsymbol{a})\int _{S_{\varepsilon}(\boldsymbol{a})}\frac{1}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^2}dS &= g(\boldsymbol{a})\int _{S_{\varepsilon}(\boldsymbol{0})}\frac{1}{|\boldsymbol{x}|^2}dS \end{align} となります．ここでこの球面上の点を $(x,y,z)$ とすると， \begin{align} x &= \varepsilon\sin\theta\cos\varphi , \\ y &= \varepsilon\sin\theta\sin\varphi , \\ z &= \varepsilon\cos\theta , \end{align} という変数変換により， \begin{align} \int _{S_{\varepsilon}(\boldsymbol{0})}\frac{1}{|\boldsymbol{x}|^2}dS &= \int _0^{2\pi}d\varphi\int _0^{\pi}\varepsilon^2|\sin\theta |d\theta\frac{1}{|\boldsymbol{x}|^2} \\ &= \int _0^{2\pi}d\varphi\int _0^{\pi}\varepsilon^2|\sin\theta |d\theta\frac{1}{\varepsilon^2} \\ &= 2\pi\int _0^{\pi}\sin\theta d\theta \\ &= 2\pi\biggl[ -\cos\theta \biggr] _0^{\pi} \\ &= 4\pi \end{align} が得られますので，結局十分小さな $\varepsilon > 0$ に対して， \begin{align} \int _{\Omega}g(\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})d^3x &\approx 4\pi g(\boldsymbol{a}) \end{align} が成り立ちますが，この近似が， $g(\boldsymbol{x})$ を一点 $\boldsymbol{a}$ で近似したことによるものですので，式変形の途中の $\varepsilon > 0$ を $0$ に近づければいくらでも正確にできます．したがって， \begin{align} \int _{\Omega}g(\boldsymbol{x})\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})d^3x= 4\pi g(\boldsymbol{a}) \end{align} が成り立ちますので， $\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = 4\pi\delta (\boldsymbol{x})$ が示せました．