竜太のテクニカルメモ

物理やへっぽこなゲーム作りについて易しく解説するよ

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\delta \det A = \det A \mathrm{Tr} (A^{-1}\delta A)の証明

竜太です. 今回は久しぶりに弦理論で現れる一つの公式を証明しましたのでご紹介します. 証明の途中で余因子展開を用いています.


\begin{align}
\det A \mathrm{Tr} (A^{-1}\delta A)
&=
\det A \mathrm{Tr}\left(\frac{\tilde{A}}{\det A}\delta A\right) \\
&=
\mathrm{Tr} (\tilde{A}\delta A) \\
&=
\mathrm{Tr} \left( ({\tilde{a}}_{ji})(\delta a_{ij})\right) \\
&=
\mathrm{Tr} \left( \sum _{k=1}^n \tilde{a}_{ki}\delta a_{kj}\right) \\
&=
\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^n \tilde{a}_{ki}\delta a_{ki} \\
&=
\det (\boldsymbol{a}_1\cdots\delta\boldsymbol{a}_i\cdots\boldsymbol{a}_n) \\
&=
\sum _{i=1}^n\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}\ \sigma a_{1\sigma (1)}\cdots \delta a_{i\sigma (i)}\cdots a_{n\sigma (n)} \\
&=
\delta\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}\ \sigma a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)} \\
&=
\delta \det A
\end{align}

以上より,


\delta\det A = \det A \mathrm{Tr}(A^{-1}\delta A)

が示せた.

ここまで読んでくださって有難うございます. 何か間違い等ございましたら,ご報告いただけると幸いです^^


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