エルミート行列はユニタリ行列で実行列に対角化できる

ども，竜太です．今回はエルミート行列がユニタリ行列で実行列に対角化できることを示します．このシリーズもいよいよ今回が最後？かもしれません．それじゃ，いきます．

演算子 $A$ が $n$ 次エルミート行列でケットベクトル $|\boldsymbol{x}_i\rangle\quad (i = 1,\dots ,n)$ が $\lambda_i$ をその固有値とする完全正規直交な固有ベクトルのとき，ケットベクトル $|\boldsymbol{x}_i\rangle\quad (i = 1,\dots ,n)$ は縦ベクトルになり，ブラベクトル $\langle\boldsymbol{x}_i|\quad (i = 1,\dots ,n)$ は横ベクトルになる．ここで次の計算をしてみる：

\begin{align} \begin{pmatrix} |\boldsymbol{x}_1\rangle &\dots & |\boldsymbol{x}_n\rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & \lambda _n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle\boldsymbol{x}_1| \\ \vdots \\ \langle\boldsymbol{x}_n| \end{pmatrix} &= \sum_{i=1}^n|\boldsymbol{x}_i\rangle\lambda_i\langle\boldsymbol{x}_i| \\ &= \sum_{i=1}^n\lambda_i|\boldsymbol{x}_i\rangle\langle\boldsymbol{x}_i| \\ &= A \end{align} ただし，エルミート演算子が $A=\sum_{i=1}^n\lambda_i|\boldsymbol{x}_i\rangle\langle\boldsymbol{x}_i|$ のようにスペクトル分解できることを用いた．ここで， \begin{align} \begin{pmatrix} \langle\boldsymbol{x}_1| \\ \vdots \\ \langle\boldsymbol{x}_n| \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |\boldsymbol{x}_1\rangle &\dots & |\boldsymbol{x}_n\rangle \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \langle\boldsymbol{x}_1|\boldsymbol{x}_1\rangle & & \langle\boldsymbol{x}_1|\boldsymbol{x}_n\rangle \\ & \ddots & \\ \langle\boldsymbol{x}_n|\boldsymbol{x}_1\rangle & &\langle\boldsymbol{x}_n|\boldsymbol{x}_n\rangle \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & 1 \end{pmatrix} \\ &= I_n \end{align} に注意すると， \begin{align} \begin{pmatrix} \langle\boldsymbol{x}_1| \\ \vdots \\ \langle\boldsymbol{x}_n| \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} |\boldsymbol{x}_1\rangle &\dots & |\boldsymbol{x}_n\rangle \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \langle\boldsymbol{x}_1| \\ \vdots \\ \langle\boldsymbol{x}_n| \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |\boldsymbol{x}_1\rangle &\dots & |\boldsymbol{x}_n\rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & \lambda _n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle\boldsymbol{x}_1| \\ \vdots \\ \langle\boldsymbol{x}_n| \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |\boldsymbol{x}_1\rangle &\dots & |\boldsymbol{x}_n\rangle \end{pmatrix} \\ &= I_n \begin{pmatrix} \lambda_1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & \lambda _n \end{pmatrix} I_n \\ &= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & O \\ & \ddots & \\ O & & \lambda _n \end{pmatrix} \end{align} が得られる．以上により，エルミート行列 $A$ は $\begin{pmatrix} \langle\boldsymbol{x}_1| \\ \vdots \\ \langle\boldsymbol{x}_n| \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} |\boldsymbol{x}_1\rangle\quad \dots\quad |\boldsymbol{x}_n\rangle \end{pmatrix}$ で左右から挟むことにより実行列に対角化できる．一方，完全性の条件より， \begin{align} \begin{pmatrix} |\boldsymbol{x}_1\rangle &\dots & |\boldsymbol{x}_n\rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle\boldsymbol{x}_1| \\ \vdots \\ \langle\boldsymbol{x}_n| \end{pmatrix} &= \sum_{i=1}^n|\boldsymbol{x}_i\rangle\langle\boldsymbol{x}_i| \\ &= \hat{1} \\ &= I_n \end{align} となることに注意すると， $\begin{pmatrix} \langle\boldsymbol{x}_1| \\ \vdots \\ \langle\boldsymbol{x}_n| \end{pmatrix}=( |\boldsymbol{x}_1\rangle\quad \dots\quad |\boldsymbol{x}_n\rangle )^{\dagger}$ であることより， \begin{align} ( |\boldsymbol{x}_1\rangle\quad \dots\quad |\boldsymbol{x}_n\rangle )^{\dagger}( |\boldsymbol{x}_1\rangle\quad \dots\quad |\boldsymbol{x}_n\rangle )&=I_n=( |\boldsymbol{x}_1\rangle\quad \dots\quad |\boldsymbol{x}_n\rangle )( |\boldsymbol{x}_1\rangle\quad \dots\quad |\boldsymbol{x}_n\rangle )^{\dagger} \end{align} となるので， $\begin{pmatrix} |\boldsymbol{x}_1\rangle\quad \dots\quad |\boldsymbol{x}_n\rangle \end{pmatrix}$ がユニタリ行列になるので，エルミート行列 $A$ はユニタリ行列によって実行列に対角化できる．